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MATEMAGIA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE





Uno de los retos que tienen la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas es que el estudiante entienda la relación que estas tienen con el mundo que lo rodea; además, es preciso que su aprendizaje sea divertido, efectivo y promueva la capacidad de análisis e investigación.


La experiencia con los cursos iniciales de matemáticas en la universidad nos muestra que muchos estudiantes aún no han construido los conceptos básicos y esto se convierte en desinterés por su estudio. Así, cuando asisten a un curso, se presenta el círculo vicioso: desinterés, falta de construcción del saber matemático, desinterés, y así sucesivamente. Por este motivo, se debe intentar hacer de esta materia un trabajo interesante, pues a pesar de que hay estudiantes que aprenden con o sin maestros, para otros la labor del profesor es imprescindible al desarrollar su curiosidad. En esa dirección, son necesarias distintas herramientas didácticas que incentiven su interés y motivación. Uno de los recursos que se puede utilizar es la matemagia, entendiendo por esta la capacidad de asombrar e interesar a los estudiantes para luego explicar algo extraordinario, y en ocasiones aparentemente imposible, a través de la argumentación matemática. En este texto se propone un nuevo enfoque que busca despertar el interés de los estudiantes.


La relación entre matemática y magia es muy antigua. Desde la época de Luca Pacioli (Italia, 1445-1517) se conocen trabajos escritos de esta índole. Entre las ventajas que tiene trabajar con matemagia está el hecho de que, además de mostrar situaciones que despiertan una verdadera curiosidad y motivación por saber qué pasó, está el profesor, quien se convierte en un gran mago que planea el efecto, realiza el acto de manera adecuada para mostrar un resultado asombroso, y después resuelve la intriga. Es conveniente aclarar que esta situación no pone en entredicho el prestigio de profesores ni de magos; sólo está revelando características propias del acto que tiene una explicación matemática. Así es como la magia se convierte en un bello instrumento para fomentar no solo la indagación de lo desconocido, sino también el interés por investigar y llegar al fondo de los escenarios problémicos planteados.


Durante este proceso los estudiantes proponen distintas alternativas que al final se analizan a la luz de la solución expuesta por el profesor. Una de las ventajas de realizar matemagia es que se sale de lo rutinario; además hay varias posibilidades de solución y se plantean teoremas matemáticos mediante interrogantes que el estudiante desea resolver. Los fundamentos de la matemagia van desde lo simple (operaciones básicas) hasta ejemplos con matemática avanzada (teoría de grupos), que promueven el espíritu investigativo y crítico de los estudiantes. Ellos siempre tratarán de indagar por qué sucede dicha situación. En muchos casos se ha notado que esta forma de indagación es más atractiva que la demostración.


En este sentido, el objetivo de este trabajo de investigación fue minimizar las actitudes negativas de los estudiantes, utilizando recursos de matemática lúdica como la amistad entre los números. A manera de ejemplo, se puede hacer el siguiente ejercicio: piensa un número, luego súmale el número consecutivo, al resultado agrégale 15, divide entre dos la adición anterior y una vez obtenida la respuesta réstale el número que pensaste. ¿Verdad que el resultado es 8? ¿Qué pasó? ¿Cómo se obtiene el mismo resultado? ¿No importa el número que se piensa?


La explicación de este juego de adivinación se devela de manera clara usando expresiones algebraicas que dan cuanta de lo que hay detrás de un número desconocido: Supongamos que el número pensado por el lector lo representamos con la letra , al sumarle el siguiente, este será , al sumarle 15, obtenemos , y al dividirlo entre , da . Al restarle el número (que fue el pensado inicialmente), nos da como resultado final sin importar el número pensado de entrada. Los pasos se pueden escribir de la siguiente forma:


  1. Número pensado:
  2.  

  3. Al número se, le suma el siguiente ( ), así: +( )
  4.  

  5. Al resultado anterior se le suman 15, entonces queda:
  6.  

  7. Se divide por dos, así:
  8.  

  9. Al restar el número pensado, , queda:

 

Con este sencillo ejemplo podemos mostrar una relación muy interesante entre el álgebra básica y un acto de magia. Para explicar lo ocurrido, tengamos en cuenta que, en realidad, al sumar un número y su consecutivo, resulta el doble del número pensado más 1, así: 8+9=8+8+1= 2 x 8 + 1 = 17. Al sumarle 15, sé que el resultado es 16 (17 + 15 = 32), y al dividirlo entre dos, obtengo el número pensado más la mitad de 16, es decir, el número pensado más 8. Como le resto el número pensado, solo me queda el 8 que ya sabía, con base en el número que dije que sumara (en este caso, 15). Si le hubiera dicho que sumara 17, el resultado final es 17+1=18; dividido entre dos nos da 9, si le digo que sume 23, el resultado final es 12, y así sucesivamente.


Ante la pregunta "¿Cómo hacer para que los estudiantes no rechacen la matemática?" no hay respuesta fácil. Pero sí hay elementos fundamentales que debemos tener los docentes para transmitírselos a quienes nos escuchen en una clase, taller o conferencia: debemos mostrar que nuestro trabajo es agradable y que es posible divertirnos con los números. Aunque algunos estudiantes no necesitan de los profesores para aprender e incentivarse, la mayoría sí, y de nuestra actitud y claridad depende su grado de interés. El gozo de uno se lee en los ojos, y quienes nos atiendan lo captarán de forma inmediata. Nuestra actitud habla por nosotros; por eso debemos ser muy recursivos didácticamente, aprendiendo cada día más para saber guiar de manera eficiente a nuestros estudiantes.



UN MAGO CON UNA MEMORIA EXTROARDINARIA


Puedes ser tú; hazlo y te asombrarás. Para lograr este efecto vamos a utilizar una tabla como la que se muestra a continuación (Ver tabla 1.)



Le diremos a nuestro amable público que sabemos cómo aprender de memoria una tabla como ésta o inclusive mucho más grande. A continuación les indicamos a los espectadores que los números están organizados al azar. En este caso son 48 números dispuestos en 8 filas y 6 columnas. El matemago le dice a alguien del público que elija un número cualquiera mientras él da la espalda. El número elegido se tapa con algún objeto como una moneda. Una vez se ha ocultado el número con la moneda, el matemago se voltea y en forma instantánea dice cuál es el número tapado con la moneda.


En realidad, el truco consiste en la disposición que tienen los números, pues no están repartidos en forma tan aleatoria como podría pensarse. Si se observa con detalle y nos ubicamos en una casilla específica (en este caso el número 19), contamos cuatro casillas en diagonal y observamos el número de la cuarta casilla, este es el resultado de sumar 3 unidades si la diagonal es hacia arriba (19+3=22) o restar tres unidades si la diagonal es hacia abajo, (19-3=16). Así lo muestran las siguientes tablas (ver tablas 2 y 3)


Escribir filas y columnas horizontal y verticalmente


 


Una de las ventajas de este juego es que puede incentivar a los jóvenes a realizar sus propias tablas e investigar posibles variaciones. Esto los ayudará a quitar el aire misterioso de las matemáticas y a sentir que la pueden manejar. De hecho, con explicaciones matemáticas es posible resolver preguntas como ¿por qué hay 6 columnas y 8 filas? ¿Siempre es así? Una vez se entienda cómo funciona esta tabla, se pueden mostrar otras tablas que funcionen contando hasta de 5 o 6 dígitos en la diagonal y es un verdadero reto para los jóvenes encontrar el patrón utilizado. Para realizar la tabla propuesta en el ejemplo se inicia escribiendo números aleatorios en las tres primeras filas (la cuarta fila ya depende de la diagonal contando cuatro casillas y sumando o restando el número a considerar, en nuestro ejemplo, sumando tres unidades hacia arriba o restando tres unidades hacia abajo). Las filas restantes se van llenando con la suma de las tres unidades de nuestro caso, en la diagonal que permita la tabla, ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda. El número de columnas depende de la relación 2n 2, donde n es el número de casillas que se están contando en la diagonal. En nuestro caso son cuatro, por lo que las filas son 2(4)2= 6 columnas. Las filas son las que se quieran poner a partir de cuatro, pues esta cuarta fila depende de la primera fila inicial.



Números Palíndromos


Recordemos que los números naturales son aquellos que se usan para contar de manera "natural". Dependiendo de la postura que se tenga respecto a ellos pueden iniciar con el cero o sin él. Se representan con la letra N, y desde el punto de vista conjuntista se pueden representar así: N= {1,2,3,4,…}


También tengamos en cuenta que un número primo es un número natural mayor que 1, el cual solo es divisible por sí mismo y por la unidad. Ejemplo de números primos son 2, 3, 5, 7 y 11.


El término palíndromo se usa para referirse a frases y palabras que pueden ser leídas de derecha a izquierda y viceversa, y dicen lo mismo. Por supuesto, no se tienen en cuenta espacios ni puntuación. Ejemplos de estas frases y palabras son: la ruta natural, luz azul, reconocer, Ana. El término palíndromo también se usa para referirse a números. Recordemos que un número palíndromo es aquel que al leerlo hacia la derecha o hacia la izquierda es el mismo número. Por ejemplo, el número 121. De los números palíndromos se saben algunas cosas, pero se desconocen otras. Desde hace mucho tiempo se conoce una forma de generar números palíndromos y es la siguiente: tome un número, luego escriba sus dígitos en orden invertido y súmelo con el número inicial. Ejemplo: Número inicial: 65


Dígitos en orden invertido: 56


Suma: 65+56=121


El número 121 es un número palíndromo obtenido en un solo paso. El número 363 es un número palíndromo que se puede generar en dos pasos, empezando con el 39, así: primer paso, 39 + 93 = 132. Segundo paso, 132 + 231 = 363. En realidad, todo número cuya suma de sus dígitos es 10, 12 ó 13, genera un número palíndromo en dos pasos. Ejemplos: primer paso, 37 + 73 = 110; segundo paso, 110 + 011 = 121. Primer paso: 49 + 94 = 143; segundo paso, 143 + 341 = 484. Algunos palíndromos son generados en más pasos, por ejemplo: iniciando con el 167 se puede generar el número palíndromo 88555588 en once pasos. Algo similar sucede con el 353222353 iniciando con 365, pero en trece pasos. Hay un número que parece no dejarse convertir en número palíndromo mediante éste proceso mencionado: arriba el 196. Por más pasos que se realicen (en realidad, millones), no se ha podido encontrar un palíndromo con él, aunque tampoco se ha podido demostrar (verificar) que no genere un número palíndromo.


Entre algunas conjeturas que existen acerca de los números palíndromos, está la que dice que todo número natural genera un número palíndromo, sin embargo, el 196 es un contraejemplo. Otra conjetura famosa es que hay infinitos números primos que son números palíndromos. El número 11, además de ser primo, es palíndromo, igual que el 101, el 131, el 151, etc. A raíz de esto se puede preguntar: ¿son infinitos los números primos palíndromos? la respuesta parece evidente, aunque no se ha podido probar; se piensa que sí, pero sólo se trata de una conjetura. Existe una variedad de números primos palindrómicos que consisten en el número 1 repetido muchas veces; estos también son llamados números de Repunit y el primer número es el 1 repetido 317 veces, descubierto por Hugh C. Williams. Otros son el número 11 y los números palíndromos formados con 19 y 23 unidades. También se puede probar que si un número es primo de Repunit, entonces tiene un número primo de dígitos.


También podemos hablar de los números primos palindrómicos gemelos, que son los números primos que contienen un número distinto de 1 y, a cada lado, el número 1 repetido muchas veces. Ejemplo:


1111111111111111111111111111111111111111111114111111111111111111111111111111111111111111111


1111111111111111111111111111111111111111111115111111111111111111111111111111111111111111111

¿Podría usted encontrar otros primos palíndromos gemelos? Otro hecho interesante es que si un número palíndromo tiene un número par de dígitos, entonces es divisible por 11. ¿Puede usted probarlo?


Ejemplo: 731137 y 95344359


Por último, hay exactamente 198 números palíndromos entre el 1 y el 9999. Veamos: del número1 al número 9 todos son números palíndromos, ya que al ser de un solo dígito se lee de una sola manera de derecha a izquierda o de izquierda a derecha; del número10 al número 99 son solo palíndromos aquellos formados por dos dígitos iguales (el11, 22, 33, etc.), es decir, nueve números. Entre 100 y 999 se puede elegir entre el 1 y el 9 para ser el primer dígito y el 0 y el 9 para ser el último; luego hay 9 x 10 = 90 de estos números. Entre 1000 y 9999 podemos elegir del número 1 al número 9 para ser el primero y el cuarto dígitos y del 0 al 9 para ser el segundo y el tercer dígitos; luego hay 9 x 10 = 90 de este tipo de números.


En total hay 9 + 9 + 90 + 90 = 198 palíndromos del 1 al 9999. ¿Podría usted encontrar todos los números por medio de un algoritmo? Inténtelo, vale la pena.



MIS AMIGOS LOS NÚMEROS


A pesar de los notorios avances en las nuevas tecnologías, así como en la didáctica y la pedagogía, para muchas personas las matemáticas siguen siendo un campo complejo y extraño, accesible solo a unos pocos. Para contrarrestar esta concepción, la herramienta didáctica utilizada en este enfoque consiste en usar el concepto de amistad para generar mucha motivación en el estudio de las matemáticas y así acercarse al conocimiento de los números sin ningún temor. Como todos los amigos, hay varias clases de amistades numéricas. Mencionaremos algunas, luego de definir lo que se entiende por números amigos:


Números amigos


Los números amigos se reúnen en parejas a compartir una característica: la suma de sus divisores (excepto ellos mismos) es igual al otro número. Ejemplo: 220 y 284 son números amigos, pues:


La suma de los divisores de 220=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284


La suma de los divisores de 284= 1+2+4+71+142=220


Otras parejas de números amigos son 2620 y 2924; 9437056 y 9363284


Amigos mágicos


Aquí encontramos números que parecen mágicos porque siempre traen una sorpresa y una maniobra para mostrarse al público, y al final se destacan.


Caso 1 :


Piense en un número de cinco cifras, de tal manera que la primera y la última no sean iguales. Luego intercambie el primer dígito con el último. De estos dos números que quedan, reste el mayor al menor. A continuación intercambie la primera y la última cifra del resultado y súmelo con el resultado del tercer paso. El número que resulta es 109989. Puedes conjeturar, amigo lector, cuál es la razón para que esto ocurra. Por ejemplo, como una pista, puedes escribir la expresión en forma decimal del número. En el caso de 139, tenemos: 139: 3 x 100 + 3 x 10 + 9. Hazlo con un número de cinco cifras, siguiendo las instrucciones anteriores.


Caso 2:


  1. Piensa en un número de tres cifras
  2. Toma la primera cifra y multiplícala por 2
  3. Al resultado súmale tres
  4. Multiplica por 5 el valor obtenido
  5. A ese resultado, súmale la segunda cifra del número pensado originalmente
  6. Multiplica por 10 el nuevo resultado
  7. Suma la tercera cifra del número pensado inicialmente
  8. Resta 150 al nuevo resultado
  9. ¿Qué valor obtienes?


Sí. Obtienes el número que habías pensado. Bien, hagámoslo con un número en particular, por ejemplo, el 426. Los pasos son los siguientes:


  1. 426
  2. 4x2=8
  3. 8+3=11
  4. 11x5=55
  5. 55+2=57
  6. 57x10=570
  7. 570+6=576
  8. 576 150= 426
  9. 426


Para explicarlo, tomemos un número de tres cifras cualquiera: xyz, el cual, en su expresión decimal, resulta ser xyz = 100x + 10 y+ z. Ahora sigamos los pasos de nuevo con el número xyz:


  1. xyz
  2. 2x
  3. 2x+3
  4. (2x+3)x5=10x+15
  5. 10x+15+y
  6. (10x+y+15)x10=100x+10y+150
  7. 100x+10y+150+z=100x+10y+z+150
  8. 100x+10y+z+150=150=100x+10y+z
  9. 100x+10y+z


En realidad, las operaciones que se realizan sobre el número inicial lo dejan de la misma manera, solo dan un poco de sorpresa para distraer, pero queda intacto. Fácil, ¿verdad? Por favor, intenta con otro número.


Amigos grandes


A continuación presentamos algunos ejemplos de números grandes, en relación con ciertas propiedades que cumplen.

Ejemplos:


  1. Un número narciso (ver definición más adelante) grande es: 115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401
  2.  

  3. Un número vampiro grande es: 1.234.554.321*9.162.361.086=11.311.432.469.283.552.606

  4. Recordemos que un número vampiro es aquel que resulta de la multiplicación de dos números (llamados progenitores), con cantidad de dígitos pares. El resultado involucra los números multiplicados sin importar su orden. Los progenitores no deben terminar en ceros.


  5. Un número sublime (ver definición más adelante) grande es: 6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264
  6.  

  7. Un número primo grande es: 232582657-1

  8. Recordemos que un número primo es aquel que solo es divisible por sí mismo y por la unidad (por ejemplo, los números 5, 7, 11 y 1). De hecho, este es el número primo más grande conocido y consta de 9.808.358 dígitos. Este número también es conocido como número de Mersenne y es el más grande conocido hasta ahora. Existe un valioso premio para quien halle un número primo con más de 10 millones de dígitos.

     

  9. Un número capicúa (o palíndromo, es decir, aquel que se lee de la misma forma de derecha a izquierda y de izquierda a derecha) grande es 1023456987896543201, aunque también es al mismo tiempo el número palíndromo más pequeño en contener los dígitos del 0 al 9.


Amigos geométricos


Son aquellos que se pueden representar por ciertas figuras geométricas, llamadas polígonos, de tal manera que se construyan con igual número de puntos que representen los números. En el caso de tres puntos se habla de números triangulares; de cuatro puntos, se habla de números cuadrados; cinco puntos son números pentagonales y así sucesivamente. El número 1, por definición, es un número poligonal.


Ejemplos de números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, y su representación geométrica:




Ejemplos de números cuadrados: 1,4, 9, 16, 25,36, y su representación geométrica.


 




Ejemplos de números pentagonales: 1,5, 12, 22, y su representación geométrica:





Ejemplos de números hexagonales: 1, 6, 15, 28, y su representación geométrica:





 



Amigos perfectos


Entre nuestros amigos hay algunos perfectos, gracias a la propiedad que cumplen: se dice que un número natural es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios, es decir, todos sus divisores, excepto él mismo. Ejemplo: El número es perfecto, pues sus divisores son 1, 2 y 3, cuya suma es 6.


Otro número perfecto es el 28, pues sus divisores son 1,2,4,7 y 14, cuya suma es 28. Un número perfecto más grande es el 8589869056. En la actualidad solo se conocen 46 números perfectos, y sus aplicaciones tienen que ver con el avance de los computadores, pues entre más grande es el número, más difícil es para calcularse. Así, se puede medir la capacidad de un ordenador según su capacidad de encontrar números como estos. Algunas preguntas sin respuesta conocida, respecto a los números perfectos, son: ¿Existen infinitos números perfectos? ¿Todos los números perfectos son pares?


Amigos cíclicos


Un número natural de n dígitos es cíclico si, al multiplicar por un múltiplo menor o igual a n, el producto tiene los mismos dígitos siguiendo un orden cíclico.

Ejemplo: Si dividimos 1 entre 7, da como resultado:

Como se puede notar, este es un número periódico, con período igual a 142857, que al ser multiplicado por los números del 1 al 6, nos da el mismo número, solo que desplazando sus unidades. Realicemos los casos:


Otros números cíclicos son :


Amigos narcisos


Se llama así a los números que cumplen la siguiente propiedad: para todo número natural n, si n es igual a la suma de las potencias de sus dígitos, decimos que es narciso. En otras palabras, si es un número de dígitos, entonces este resulta ser igual a la suma de las potencias de sus dígitos, elevados al orden Ejemplos:





¿Puedes encontrar otros números narcisos?


Amigos oblongos


Estos amigos son aquellos números que resultan de multiplicar dos números naturales consecutivos. Como ejemplos tenemos:



Amigos felices


Se llama así a todo número natural que cumple con la siguiente condición: al sumar los cuadrados de cada uno de sus dígitos, siguiendo la serie, la solución que se obtiene es 1.


Ejemplo: el número 203 es un número feliz, ya que:

,

Otros números felices son:


¿Puedes comprobar la felicidad de estos bellos números?


Dado que muchos se preguntarán para qué sirven estos números, o para qué clasificarlos de esa manera, se pueden proponer respuestas muy diversas; en este caso quiero mencionar que no todas las aplicaciones en matemáticas ocurren necesariamente en la vida práctica, aunque muchos de estos números que, como los números primos, en épocas anteriores no tuvieron aplicaciones prácticas, hoy son una fuente inagotable de utilidad, especialmente en criptografía (mensajes cifrados, para no ser leídos o comprendidos por cualquier persona), en donde juegan un papel fundamental, pues hoy la criptografía se aplica, por ejemplo, en inteligencia militar, bancos, tarjetas de crédito, envío de información empresarial, etc. Es posible que algunos de estos tipos especiales de números no parezcan tener una aplicación práctica en este momento, pero en el futuro la pueden tener. Además, el solo hecho de convertirse en una fuente de procesos de pensamiento matemático ya provee una aplicación, pues con este tipo de relaciones numéricas también se generan teorías que pueden dar soporte a posibles desarrollos matemáticos futuros (como el caso de los números poligonales).


Por último, se puede responder de manera simple a la pregunta ¿para qué sirven? Sirven para incentivar y promover el interés por el estudio de las matemáticas y especialmente para generar curiosidad y agrado, y redescubrir relaciones matemáticas que están ahí, pero que necesitan una mente curiosa que las revele. En esta fuente de curiosidad se recrearon muchos de nuestros más insignes matemáticos y científicos, como Gauss, Newton, Bachet, Einstein, Fermat y muchos más, que en algunos casos se motivaron así por adentrarse en esa bella jungla numérica, lo que posteriormente los llevó a profundizar en los grandes tratados de matemáticas que existían en su época y a desarrollar sus propias teorías.


Ejemplos como éstos son adecuados para desarrollar en talleres y conferencias como las que realizamos para diferentes instituciones de la ciudad, la región, el país y en otros países a donde hemos sido invitados. También hemos llevado a cabo talleres de hasta 450 estudiantes de manera simultánea y los resultados han sido satisfactorios, ya que estos talleres generan gran interés por las matemáticas y sus enigmas.


#1 Cubo mágico

 

CUBO MÁGICO


Este cubo es muy especial porque tiene la propiedad de "saber" la fecha de cumpleaños de cualquier persona. El procedimiento es el siguiente: primero observa que el cubo tiene la siguiente particularidad: cada una de las cinco caras que contienen números forman un cuadrado mágico, es decir, que al sumar las filas, columnas o diagonales de cada cara, siempre da como resultado un número constante. Ahora procede a buscar las caras del cubo en donde esté el día de tu cumpleaños. Para cada una de ellas, apunta el número que está en la esquina superior izquierda. Luego suma todos los valores apuntados. El resultado será el mismo día de tu cumpleaños.


La explicación se puede dar de varias maneras, pero una de las más simples es que los números de la parte superior izquierda, de cada esquina de las cinco caras del cubo, son potencias del número dos. Es decir: 1, 2, 4, 8, 16, y cualquier número del 1 al 31, puede ser expresado de manera única como una combinación de estos números, por lo que basta con escribir en cada cara del cubo los números en los que está su respectiva potencia, y tendremos todas las fechas deseadas.


A manera de ejemplo, supongamos que su cumpleaños es el día 15 (no importa el mes). En el cubo, el número 15 aparece en las caras que tienen en la parte superior izquierda los números 8, 4, 2 y 1 ya que 15= 8 + 4 + 2 + 1 De esta manera podemos estudiar fácilmente, con un divertido juego de adivinación de fecha de cumpleaños, las potencias de dos, la suma de números mentalmente, las combinaciones lineales y, en cursos más avanzados, los números binarios, pues las potencias de dos se pueden representar con estos números (es decir, base 2). Los números binarios son un tema de estudio en diferentes cursos universitarios, especialmente en carreras de ingeniería. Su estudio se puede iniciar con una actividad tan interesante como adivinar una fecha de cumpleaños (en muchos casos, también se utiliza para "adivinar" la edad de un grupo cuya edad, por supuesto, no supere los 31 años)


En conclusión, podemos decir que el aprendizaje y la enseñanza de la matemática pueden ser divertidos y efectivos, y generar en los estudiantes y el público en general una manera de indagar sobre la explicación profunda de un hecho que parece imposible. Es aquí donde la magia del profesor muestra su lado amable y corrobora que sí se puede aprender matemáticas sin perder el rigor científico, que es un requisito en cualquier ciencia. Además, cuando los jóvenes desarrollan el gusto por las matemáticas, de manera directa se empieza a avanzar en la ciencia y en las diversas investigaciones en los diferentes campos del saber y, en consecuencia, se encuentran las múltiples aplicaciones de las matemáticas.






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